Le paradoxe des anniversaires


Le paradoxe des anniversaires, dû à Richard von Mises, est l'estimation du nombre de personnes que l’on doit réunir pour une probabilité donnée, pour que deux personnes parmi ce groupe soient nées à la même date d'anniversaire (jour et mois).

Combien doit-on réunir de personnes pour que deux d’entre elles au hasard aient les mêmes dates d’anniversaire ?

L’intuition donnerait l’impression qu’un tel événement est rare, voire très rare. Le calcul est en fait contre-intuitif.

Concernant le paradoxe des anniversaires, on fait un calcul d'analyse combinatoire. Soit n le nombre de personne, et soit 365 jours le nombre de dates dans l’année. Dans le calcul de probabilité, on considère que chaque date d'anniversaire est équiprobable à une autre date quelconque.

Le point d’exclamation dans l’équation désigne la fonction factorielle. Et l'accent circonflexe est une élévation de puissance (exposant), ici désignant ci-dessous 365 puissance n.

  • P = 1 – (365!/((365-n)! * 365^n)

À partir de 23 personnes, la probabilité pour que 2 personnes quelconques du groupe de 23 personnes aient la même date d'anniversaire dépasse 50%.

Et dès 57 personnes, la probabilité pour que 2 personnes quelconques du groupe de 57 personnes aient la même date d'anniversaire dépasse 99%.

On pourrait être tenté de croire que des coïncidences sont miraculeuses ou sensationnelles parce qu'elles surviennent quand même, juste parce qu'on les croient rarissimes, à tort. En fait, les calculs ont prévalence sur l'intuition parce qu'ils sont plus exacts qu'elle. Il ne faut pas se fier à l'intuition, car elle est une cause de biais cognitifs et de raisonnements fallacieux.


Voici un exemple où l'intuition conduit à une conclusion fausse :

Une batte de baseball et une balle de baseball coûtent 110 euros ; la batte coûte 100 euros de plus que la balle. Combien coûte la batte et combien coûte la balle ? Malgré cet énoncé court et simple, l'intuition fait souvent dire 10 euros comme réponse pour quantifier le prix de la balle, or beaucoup de personnes se font avoir, y compris des étudiants... L'intuition est une illusion de logique, un raccourci maladroit, et cela peut avoir de lourdes conséquences.

En revanche, avec l'algèbre, au moyen d'une équation à 2 inconnues : X + Y = 110 et Y = 100 + X, on trouve un résultat correct : Y = 5 et X = 105, ce résultat est différent de celui donné par l'intuition.

Il apparaît clairement qu'il ne faut jamais se fier à l'intuition quand on peut faire preuve de rigueur grâce aux mathématiques. Toutefois, l'intuition peut conduire à de nouvelles idées, parfois fécondes, du genre "Tiens, et si je testais ça ?", mais c'est avec la rigueur avec des calculs que nous prouvons.



© 2016 Philip Tchelovek

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Philip Tchelovek

Blogueur scientifique. Présent sur Skõp depuis le 19/03/2016. Articles sous copyright, mais vous pouvez partager les URL librement.

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